LQR 제어 (중편)

위식에서 마지막 항을0이라고 하면(초기 상태를 0으로 둔다.) x와u는 독립적이므로

을 만족기위해서는 각 항은 모두 0이 되어야 한다.즉 아래와 같은 3가지 방정식을 구할 수 있다.

두 번째 식과 세 번째 식을 다시 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

이제 여기서 앞서 정의한 가격함수를 이용하면

위식들과 앞서 구한 3개의 방정식을 이용하면 아래와 같은 방정식을 구할 수 있다.

위식은 Ricati Equation 으로 불린다. Steady-state라고 가정한다면 위 Ricatti equation은 다시

 

로 정리할 수 있고 이 식은 Matrix Algebraic Riccati Equation(MARE)라 한다.

저기서 미지수는 P이므로 Riccati Equation을 풀어 P를 구하면 를 알 수 있고 를 이용해 u를 구할 수 있다. u를 구하는 과정은 단순한 산수 이므로 따로 기술하지 않는다. 따라서 구해진 입력 u는 아래와 같다.

즉, 위에서 구한 식을 풀어서 구한 입력은 어떤 함수 에 대한 범함수를 최소로 하는 입력이다.