LQR 제어 (상편)

Linear System LQR 제어 이론을 이해하기 위해선

1. 라그랑주 승수법(Lagrange Multiplier Method)
   라그랑주 승수법은 제약조건이 있는 최적화 문제에 사용되는 방법입니다.
   예를들어  를 만족하며 를 최적화는 문제를 생각해 봅시다.  이때 제약조건 
   를 만족하며 를 최적화 하기 위해 라그랑주 승수법을 사용하여 범함수  를 구성합니다.

F 의 정류점은변분법의 기본 정리로 구할 수 있습니다. 여기서 범함수 F 와  f(x) 사이의 관계는 아래와 같습니다.

• 만약 가  의 정류점이라면  는  로 제약한  의 정류점이다.
  
• 만약  가  로 제약한  의 정류점이라면  가  의 정류점인 가 존재한다. (여기서 를 라그랑주 상수라 한다.)
  즉, 라그랑주 상수법이란 최적화 하려는 값에 형식적인 라그랑주 상수항을 더하여 제약된 문제를 제약이 없는 문제로 바꾸는 것입니다.

 

2. 변분법(Calculus Variation)
   위의 라그랑주 승수법을 통해 정류점을 찾을 때 사용되는 개념이 변분법의 기본 개념입니다.  변분법은 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange Equation)을 찾을 때 사용되는 개념으로서 기본개념은 다음과 같습니다.
   범함수  에서 범함수  의 정류점 근처에서는 아주 약간  나  의  모양을 바꾸어도 범함수의 값이 바뀌지 않는다
   약간 이해하기 힘들수 있으나 간단하게 2차 함수를 생각했을 때 2차함수의 정류점 즉 극점에서 기울기가 0이라는 사실을 이해한다면 위 기본 개념을 이해하기 어렵지 않습니다.

위의 두가지 이론을 숙지했다면 LQR 제어 이론을 이해하는데 불편함은 없을 것입니다.

우리는 모두 LQR제어기 설계가 제어가격함수(Cost Function)를 최소화 하는 입력 
를 찾는것이란걸 알고 있습니다. 가격함수 또한 여러가지 종류가 있습니다만 여기서는 가격함수는 Qudratic Cost Function을 사용합니다. 일반적인 시스템에서 가격함수는 아래와 같이 설정합니다.

즉 위식을 최소로 만드는 제어입력 u를 찾으면 그 입력이 최적제어 입력이라는 것입니다.

저식을 본 분들이라면 의아할 수 있습니다. ‘어떻게 함수 J를 최소로 만드는 입력이 시스템의 안정성 까지 보장하는가’라는 의문이 들 수 있습니다.

이부분은 Subnote1에서 자세히 이야기 하기로 하고 위 가격함수 J를 최소로 만드는 입력 u를 찾아 봅시다. 이를 위해 위에서 언급했던 라그랑주 승수법을 사용합니다.

 

     

   

라고 할 때 함수 L을 항상 양의 값을 가지는 함수라고가정해보자.

여기에 라그랑주 승수법을 적용하면

와 같이 나타낼수 있다. 여기서 제약  은 위 가정에 의해 항상 0이다. 위 라그랑주 승수 함수  의 정류점을 찾기 위해서 두번째 이론인 변분법의 원리를 적용한다. 즉 변분법의 원리대로 위 함수  는 정류점 근처에서 변화율이 0이다. 즉  의 변화율은

가 되고 여기서 마지막 항만 따로 계산하면 (끄적미적)

위식을 이용하여  식을 다시 정리하면 아래와 같다.